#9.- Midiendo la velocidad de la luz

Comprendo cómo hacen los científicos para calcular las distancias a las estrellas, pero lo que a mí me gustaría saber es cómo hacen para averiguar sus nombres.

-Estudiante de física.

Una cosa te lleva a la otra. Se me ocurrió planear un día para medir uno de los fenómenos de ocultación de los satélites de Júpiter. Quería usar la CCD para sacar la curva fotométrica de la reaparición de un satélite, total, porque nunca lo había hecho. Lo obvio era medir Ío, que es el que gira más rápido y encuentras con más  frecuencia una ocasión para observar. Pero me preocupaba que estando el fenómeno tan cerca de Júpiter, las medidas podían salir con errores grandes o incluso sería difícil no saturar el chip. Quizás entonces, mejor Calisto, que tiene una órbita mayor, y reaparece más lejos,  en fin, que me fui a internet, a ver si me aclaraba en algún sitio.

Saltando de una página a otra, tropecé con la historia de Roemer, (Ole Christensen Rømer - 25 de septiembre de 1644, Århus - 19 de septiembre de 1710, Copenhague), el astrónomo danés que fue la primera persona que concluyó que la luz debía tener una velocidad finita, y además dio la primera medida, al darse cuenta de que el periodo de Ío se acortaba cuando la tierra se acercaba a Júpiter, y se alargaba cuando se alejaba. Es un caso muy interesante. Doy por hecho que casi todo el mundo lo ha oído, pero la resumo aquí brevemente. Empieza con Cassini, (Giovanni Domenico Cassini - Perinaldo, República de Génova, 8 de junio de 1625 – París, Francia, 14 de septiembre de 1712), el de los anillos de Saturno, el primero que se dio cuenta del fenómeno. Y  como no encontraba explicación, llamó a Roemer para trabajar en el problema.

Cassini estaba interesado en una solución para algo completamente distinto. Los marinos, ahora estamos en el siglo XVII, necesitaban conocer la hora con precisión, para determinar la longitud en la que se encontraban. Ya sabían cómo podrían calcularla, pero sus relojes distaban mucho de ser fiables así que casi siempre andaban un poco perdidos. Cassini sabía que había un reloj en Júpiter, y sus manillas eran los satélites Galileanos. Si conseguía predecir sus ocultaciones y reapariciones, el capitán podría ir poniendo sus relojes en hora navegando por cualquier punto del océano desde donde se pudiese observar el planeta, ya que los satélites son visibles con cualquier catalejo corrientito.

Pero Cassini estaba bloqueado. No era capaz de predecir el comienzo y fin de los eclipses porque los satélites no parecían tener un periodo fijo. Unos meses eran más largos y otros meses eran más cortos.

Roemer dio con la explicación, y Cassini, incapaz de aceptar semejante idea abandonó el problema. Para ello tendría que abandonar su creencia en la velocidad infinita de la luz, ya que él sostenía que lo que vemos, aunque esté muy lejos, está sucediendo exactamente en el instante en que es observado. Roemer aceptaba que los eclipses se producen con regularidad. Solo añadió que cuando la tierra en su órbita se encuentra más lejos de Júpiter, la luz debe tardar más tiempo en llegar que el que tarda cuando nos encontramos más cerca.

Suponga que yo le escribo a usted una carta cada día. Sigo escribiéndole diariamente pero además empiezo un viaje alrededor del mundo. Forzosamente, usted encontrará que entre carta y carta, llega un momento que empieza a pasar más de un día (suponga un servicio postal que transporta las cartas a velocidad constante). Alcanzado un valor máximo cuando cruzo el meridiano opuesto al suyo, usted de nuevo empieza a notar que el tiempo entre carta y carta va disminuyendo. No sucede que yo cambio la hora de poner la carta en el correo, sino que el cartero tiene que recorrer distancias diferentes para cada carta. Algo así, pensaba Roemer, debía suceder a la luz y si eso era cierto, el problema de la variabilidad de los periodos quedaba resuelto. Vencido Cassini, Roemer acabó solo y salió con un valor medido, el primero para la velocidad de la luz: 225.000 km/s. Supongo que sabría lo que se estaba jugando. Tuvo que ser valiente para decir una cosa así al mundo.

Propongo repetir el trabajo de Roemer. Buscar un procedimiento para hacerlo, y acabar midiendo la velocidad de la luz aproximadamente. Ya veremos donde salen las dificultades.

Bueno, lo podemos ver ahora. Hay que tomar la hora de al menos dos ocultaciones o reapariciones de Ío, con la mayor precisión posible. Eso no es fácil. Los valores anotados siempre tendrán errores. Un error de un segundo en la determinación de una aparición por ejemplo, son muchos kilómetros de distancia recorrida por la luz, y un error de un segundo sería un triunfo, ya que Ío se pasa tres minutos saliendo del eclipse.

Trabajaremos las distancias en unidades astronómicas y un error del 1% también son muchos kilómetros. Y lo más gordo: el periodo orbital que observamos es el periodo sinódico. Este dato es el observado pero no el real. Es algo que pasa porque Júpiter también se está moviendo, he puesto un croquis sencillito y no a escala donde espero que se vea el porqué de esto que estamos hablando. Si viviésemos en el polo norte de Júpiter podríamos ver el periodo sidéreo de sus satélites. El que tiene como fondo las estrellas.  

Con todo, lo vamos a intentar, a ver qué sale. Lo primero que necesitamos son observaciones. Ahora precisamente es un buen momento para observar, porque estamos en los días de este año en que la Tierra se encuentra más próxima a Júpiter.

Después, todo sería cuestión de esperar cuatro meses, para tomar una segunda lectura. (No pasa nada si mientras tanto se van tomando medidas intermedias). Pero en esos cuatro meses, la tierra se habrá separado más de un cuarto de orbita, y aun Júpiter puede seguir siendo observable, ya cada vez menos, puesto que pasados dos meses más, Júpiter se encontrará casi exactamente al otro lado del sol.

Unos sencillo cálculos más tarde, tendríamos una medida de la velocidad de la luz. Ya está. Digo sencillos porque son los que están a mi alcance, pero se podrían complicar cada vez más y más, siempre en beneficio de una mayor precisión en la medida. Aun así, el propósito de este experimento no es mostrar destreza matemática en absoluto, sino, - supongamos que no queremos creernos todo lo que nos dicen, - entonces necesitaremos proporcionarnos una prueba por nosotros mismos de que la luz tarda en llegar. Y que además, tarda lo que tiene que tardar.

Puedo detenerme aquí, irme al telescopio, y continuar dentro de cuatro meses. Lo he pensado, es cierto. Pero voy a hacer otra cosa distinta. Voy a usar las observaciones de otro. No me llaméis tramposo, eso sería si me apropiase de las observaciones, pero aquí se lo estoy contando a todo el mundo. Un poco perezoso sí que me estoy volviendo, vergüenza me da confesarlo. Sin embargo uno se toma el trabajo y las molestias de observar y luego publica para que los datos sean útiles, al menos esa es mi intención cuando yo lo hago. Y doy por hecho que la precisión de los datos será infinitamente mejor que la que yo consiga, sirviendo eso para mejorar el resultado.

He encontrado dentro de la web de la American Meteor Society, la página de Anthony Mallama, sobre los eclipses de los satélites galileanos y entre otras cosas publica observaciones de muchos años. Están en un fichero de texto y lo correcto es citar las fuentes como es debido: "Galilean Satellite Eclipse Timing Data by A. Mallama, P. Nelson, J. Park, D. Collins, and B. Krobusek, 2003, http://www.amsmeteors.org/mallama/galilean/timings.html." Espero cumplir bien con esto sin olvidarme de agradecer a estas personas la contribución de sus datos, que nos van a permitir hacer aquí, rápidamente el experimento sin emplear tantos meses y delante de todos.

He tomado cuatro observaciones más o menos al azar que vienen bien para este experimento. son las numeradas como 215, 220, 227 y 242 en el fichero:

00-Dec-31       06:19:58.3     (Galileo Observatory).

01-Jan-25       01:03:18.5     (Galileo Observatory).

01-Feb-01       02:58:36.1     (Galileo Observatory).
01-Mar-19       03:27:52.1   (Farmington Observatory).
 

En Diciembre, fijaos bien en la fecha, que hay que ver de lo que es capaz una verdadera dedicación, Júpiter estaba cerca de la posición de mínima distancia a la tierra. con un programa de planetario, o aquí, en internet, se ven las posiciones de los planetas en cada instante. No hay que decir que cuando la Tierra se alinea con Júpiter y el Sol, lo que se llama estar en oposición, la distancia es mínima pero no es buen momento para observar eclipses. Igual sucede cuando estamos a la máxima distancia, o en conjunción, porque además, Júpiter queda tapado por el sol.

Hay tres observaciones más, hasta Marzo, en cada una de las cuales la Tierra ha ido aumentando la distancia con Júpiter.

A partir de aquí, me voy a mi SkyMap querido, y busco los datos que hacen falta. Por supuesto, la distancia entre la Tierra y Júpiter en el momento de cada observación, y, otra cosa, la longitud eclíptica de Júpiter para, aquí viene lo único un poco complicado, pasar de periodo sinódico a sidéreo, que es el que mediríamos si Júpiter no se estuviese moviendo. No haré de esto un fárrago de matemáticas porque no es el lugar para hacerlo pero solo se usan operaciones aritméticas y un poco de trigonometría básica. Los astrónomos sí que se saben complicar y alcanzan precisiones altas, como es debido. Un modelo que calcule la posición de los satélites galileanos se basa en ecuaciones con 50 parámetros diferentes. Sobre todo por interacciones gravitatorias mutuas y porque la velocidad angular de Júpiter no es constante a lo largo de la órbita (si la órbita es elíptica, la velocidad del planeta es variable).

Bien, ya sabemos que como Júpiter se mueve, los eclipses no suceden en el lapso exacto de un periodo, sino en un poquito más. Este es el único hueso un poco complicado. El resto, bien simple, es, conocido el periodo de Io, comprobar que el periodo se alarga cuando estamos más lejos. Ese es el problema que que tenía Cassini, ¿por qué?, Roemer acertó en la solución. La luz no viaja con velocidad infinita, y cuando la tierra está lejos, llega más tarde y viceversa. Cassini no se creyó ese cuento y se retiró del caso.

¿Cuánto se ha retrasado el eclipse del momento previsto? y ¿cuánto más lejos estamos ahora? Este sí es un problema de velocidad es igual a espacio partido por tiempo. 

En resumen, vamos a ir rápido, tenemos que la primera observación, la más cercana, fue el día 31 de Diciembre de 2000 a las 06:19:58’3. Ese día estábamos a 4.2313646 unidades astronómicas de Júpiter. El día 19 de Marzo de 2001, estábamos a 5.3767916 AU. Corrección sidérea incluida, deberíamos haber visto el eclipse el mismo día a las 3:18:34’2. Sin embargo, como figura en el tiempo anotado por el observador, en nuestro planeta la luz llegó a las  03:27:52.1. La diferencia, 557’9 segundos, poco más de 9 minutos, es el tiempo que la luz tardó en recorrer la distancia adicional entre los dos lugares. Esta distancia, según Skymap, era de 171.353.440’2 kilómetros. Sencillamente, dividimos y nos da una velocidad de 307.140 km/s. un error del 2’5%. Las observaciones de estos señores deben ser muy buenas. Seguramente las mías me hubiesen hecho pasar vergüenza.
 

Si usamos los datos del 25 de enero y del 19 de marzo, repitiendo las mismas operaciones me sale, hora esperada del eclipse, las 3:21:23’6, observada, 03:27:52.1. Diferencia, 388.5 segundos, e incremento de la distancia,  124.763.606’9 kilómetros. Entonces, v=321.115 km/s. esta vez el error es del 7%.

Y con salida el 1 de febrero y llegada el mismo 19 de Marzo, hora esperada, las 3:22:15.7. Observada, 03:27:52.1, como siempre. Ahora la diferencia de tiempo es de 336’4 segundos y la distancia recorrida en exceso, 108.889.537’5 Km. A dividir, v=323.721 km/h. Error relativo: 8%. A mi modo de ver, funciona.

Los errores deben atribuirse a mi método de cálculo, con simplificaciones y solo para hacer astronomía de salón. Ahora me estoy preguntando: ¿Y si no tenemos telescopios?, ¿cómo se puede medir la velocidad de la luz?.

Hay formas. Yo sabía una. Sólo con papel y lápiz.

Resulta que la velocidad de la luz estaba escondida en las ecuaciones de Maxwell (James Clerk Maxwell - Edimburgo, Escocia, 13 de junio de 1831 – Cambridge, Inglaterra, 5 de noviembre de 1879). Son un ladrillo de ecuaciones diferenciales que relacionan (unifican) los campos eléctricos y magnéticos. Cualquiera que guste un poco de la física debe sentir devoción por este escocés que además, en astronomía demostró que los anillos de Saturno no podrían nunca ser un cuerpo rígido.

Maxwell intentaba calcular la velocidad de propagación de una onda electromagnética. La velocidad le salió un valor que era la raíz cuadrada del producto de dos constantes conocidas. Una, una constante fundamental de los campos eléctricos, e_o, la constante dieléctrica o permisividad del vacío. La otra su equivalente para los campos magnéticos. La permeabilidad magnética, m_o, otra constante fundamental. Serían las equivalentes a la constante universal de la gravitación, pero para fenómenos eléctricos o magnéticos en vez de gravitatorios.

La velocidad es por tanto,

Maxwell la encontró tan parecida a la de la luz, que propuso que la luz podría ser también una onda electromagnética, pero esta es otra historia. También es importante darse cuenta que de esta ecuación se ve que la velocidad de la luz es el resultado de una operación entre constantes, por tanto, es también una constante. ¿suena a algo que ya hemos oído antes, verdad?

Son tambien notables los experimentos hechos por Fizzeau en 1849 y por Foucauld al año siguiente, para medir su valor. Con un aparato mecánico compuesto por ruedas dentadas y por espejos partidores de luz, mandando un rayo de luz a un espejo lejano que lo manda de vuelta y midiendo el tiempo empleado en ir y venir. En el siglo XIX tuvo que ser asombroso.

Casi en el siglo XX, Michelson, que anteriormente y junto con Morley habían estado tratando de descubrir el éter, o el medio en que la luz debía apoyarse para avanzar (como el sonido en el aire o las olas en el agua) empleó la interferencia para medir la velocidad de la luz. Al final el éter no apareció por ninguna parte, y sus esfuerzos acabaron denominándose “el experimento fallido más famoso del mundo”. Este experimento llevó a Lorentz a publicar su teoría de la contracción y, acto seguido a Einstein hasta la teoría de la relatividad.

En el siglo XXI, se puede medir la velocidad de la luz de varias maneras. Dos procedimientos con laser. Envian un pulso de luz a un objeto que lo refleja, (en el primer caso un satélite y en el segundo un espejo en el laboratorio), y con un osciloscopio miden el retraso:

Pero hay otra forma muy divertida. Con un microondas. Yo no conocía esta forma hasta ahora, pero no tiene truco. Se basa en una fórmula física irrefutable: la velocidad de propagación de una onda es igual al producto de su frecuencia por la longitud de onda. La radiación de un microondas es una onda electromagnética, igual que la luz. Su velocidad, es por tanto, la misma. Conocemos la frecuencia. ¿ah, no?, viene escrita en una etiqueta pegada en la tapa trasera del electrodoméstico. En el mío es de 2450 Megahercios. En el suyo es muy probable que sea la misma.

Por tanto, solo nos falta conocer la longitud de onda para tener la velocidad de la luz, multiplicando los dos números.

Tiene gracia ver como se mide. Primero hay que saber que en el interior del microondas las ondas van y vienen rebotando en las paredes. por tanto, hay puntos en los que se encuentra una cresta de la onda emitida con otra cresta de onda reflejada. En este punto se refuerzan las ondas, y el calentamiento es mayor. En otros puntos, se encuentran dos nodos, los puntos de inflexión de la onda, y la onda se anula. El calentamiento es nulo en ese punto. En puntos intermedios la intensidad de la radiación será intermedia también. Estos lugares de calentamiento máximo y nulo son fijos dentro del horno una vez lo hemos puesto en marcha. Es por eso, que hay un plato giratorio que hace rotar los alimentos para que el calentamiento sea homogéneo.

Pues bien, aprovecharemos este defecto para medir la longitud de onda. Nos hace falta por supuesto, quitar el plato giratorio. Luego hace falta una lámina de material de bajo punto de fusión. Por ejemplo, queso en lonchas para fundir, chocolate, también valdrían manteca o mantequilla y hay quien lo ha hecho con esponjitas tipo marsmallows. Por emplear materiales que podamos encontrar en la despensa de la cocina.

Aunque le parezca esto el programa de Carlos Arguiñano, no se me despiste. Atento. Ponemos una lámina de material en una fuente, lo metemos en el horno y lo encendemos. Hay que observar atentamente hasta ver que empieza la fusión en algunos puntos aislados. Corresponden precisamente a los puntos donde las ondas se refuerzan. Entonces paramos. Sacamos la fuente y medimos la distancia entre estos puntos. lo normal es que salgan a 6’1 cm.

Pues ya está, 6’1 cm = 0’061 metros, y esto es la mitad de una onda completa, luego la longitud de onda será 0’122m.

2450 MHz son 2450 millones de hercios o vibraciones por segundo. Multiplicamos, 0’122 m x 2.450.000.000 sg^-1 y nos da: 298.900.000 m/s. Más fácil y sin salir de casa.

A mí me han dicho siempre que con la comida no se juega, por tanto, pongo un video de YouTube para quien se quiera ahorrar hacerlo:

Ahora bien, si usted quiere hacer el experimento, entonces será porque no se lo toma como un juego. Estará haciendo ciencia. Espero que en este articulito haya encontrado un poco de las dos cosas.

Hasta otra.